Informacije

Formula Butterworth filtra, jednadžbe i proračuni

Formula Butterworth filtra, jednadžbe i proračuni


Butterworthov filter popularan je oblik filtra koji pruža maksimalno ravan odziv u opsegu. Iako je danas najčešći način izračuna vrijednosti upotreba aplikacije ili drugog računarskog softvera, još uvijek je moguće izračunati ih tradicionalnijim metodama. Postoje formule ili jednadžbe koje se mogu tužiti za ove proračune i na taj način je moguće lakše razumjeti kompromise i rad.

Koristeći jednadžbe za Butterworthov filter, relativno je lako izračunati i ucrtati frekvencijski odziv, kao i razraditi potrebne vrijednosti.

Frekvencijski odziv Butterworthova filtra

Kako je Butterworthov filter maksimalno ravan, to znači da je dizajniran tako da pri nultoj frekvenciji, prvi 2n-1 derivati ​​za funkciju snage s obzirom na frekvenciju budu nula.

Stoga je moguće izvesti formulu za frekvencijski odziv Butterworthova filtra:

|VnapoljeVu|2=11 +(ffc)2n

Gdje:
f = frekvencija na kojoj se vrši proračun
fc = granična frekvencija, tj. frekvencija pola snage ili -3dB
Vin = ulazni napon
Vout = izlazni napon
n = broj elemenata u filtru

Jednadžba se može prepisati kako bi dobila svoj uobičajeniji format. Ovdje je H (jω) prijenosna funkcija i pretpostavlja se da filtar nema pojačanje, tj. Nije aktivni filtar.

|H(jω)|=11+(ωωc)2n

Gdje:
H (jω) = prenosna funkcija na kutnoj frekvenciji ω
ω = ugaona frekvencija i jednaka je 2πf
ωc = granična frekvencija izražena kao ugaona vrijednost i jednaka je 2πfc

Bilješka: Nije bitno hoće li ω / ωo ili f / fc koristi se jer je to čisto omjer dviju slika. Ako se koristi ω koji je 2πf, tada se faktor 2π poništava jer je i na vrhu i na dnu razlomka.

Kada se želi izraziti gubitak Butterworthovog filtra u bilo kojem trenutku, može se koristiti donja Butterworthova formula. To daje slabljenje u decibelima u bilo kojem trenutku.

Ad =10log10(1+(ωωc)2n)

Primjer proračuna Butterworth filtra

Da biste pružili primjer odgovora proračuna Butterworth-ovog filtra, uzmite primjer donjeg kruga. Kao što je normalno kod ovih proračuna, koriste se normalizirane vrijednosti gdje je granična frekvencija 1 radijan, tj. 1/2 the Hz, impedancija je 1 Ω, a vrijednosti su dane u Faradsu i Henriesu.

Primjer u nastavku koristi neke od najjednostavnijih vrijednosti, s impedancijom od 1Ω, i vrijednosti za kondenzator od 2 Farada i serijske prigušnice po 1 Henry.


Koristeći gornju formulu i znanje o graničnoj tački od 0,159Hz, moguće je izračunati vrijednosti odziva na različitim frekvencijama:


Odgovor Butterworth filtra
Frekvencija (Hz)Relativna izlazna snaga
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Butterworth-ovi stupovi filtera

Polovi Butterworthovog niskopropusnog filtra sa graničnom frekvencijom ωc ravnomjerno su raspoređeni oko opsega polukruga poluprečnika ωc centriranog na ishodište s-ravni.

Polovi dvopolnog filtra su na ± 45 °. Oni kod četvoropolnog filtra su na ± 22,5 ° i ± 67,5 °. I drugi se slučajevi mogu zaključiti na sličan način.

Međutim, tabela u nastavku daje polove niskopropusnih Butterworth-ovih filtera s jednim do osam polova i graničnom frekvencijom 1 rad / s, tj. Za normalizirani filter.


Poljaci normaliziranih Butterworth-ovih polinoma
NaručiPoljaci
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Ove osnovne jednadžbe daju osnovu za razvoj jednostavnog Butterworth LC filtra pogodnog za RF i druge primjene.


Pogledajte video: Filtering 101: Single Pole Filters (Oktobar 2021).